संबंध एवं फलन की परिभाषा / Relation and Function - Definition, Examples, similarities and differences pdf

संबंध (Relation) : 

गणित में, संबंध (Relation) शब्द का अर्थ दो वस्तुओं के बीच संबंध या कड़ी होता है। इसका प्रयोग दो संख्याओं या राशियों के बीच किया जाता है।

उदाहरण के लिए, जब हम कहते हैं कि एक लड़का दुसरे लड़के का भाई है, तो हम यहाँ संबंध “भाई” को परिभाषित करते हैं।

गणितीय परिभाषा:

समुच्चय A से समुच्चय B में संबंध R कार्तीय गुणन A × B का एक उपसमुच्चय होता है, अर्थात् R⊆A × B , जिसे A × B के क्रमित युग्मों के प्रथम घटक x तथा द्वितीय घटक y के बीच किसी संबंध को वर्णित करके पाया जाता है।

Notation:
  R : A→B
( इसे R such that A to B पढ़ेंगे )

Example:
R = {(a, b): a, bका वर्ग है, a ∈ A, b ∈ B}
यहाँ a तथा b में एक संबंध (वर्ग ) है तो हम इसे a R b लिखेंगे।

व्यापक रूप से, हम इस तथ्य को aRb द्वारा लिखते हैं यदि (a, b) एक क्रमित युग्म है और इसके a एवं b इसके अवयव हैं, और ये दोनों अवयव किसी R संबंध से जुड़े हैं तो इसे a सम्बन्ध b (a relation b) कहते हैं।

* क्रमित युग्म: किसी विशेष क्रम में समूहित अवयवों का युग्म

संबंध के प्रान्त एवं परिसर:

यदि कोई संबंध क्रमित युग्मों के set के रुप में दर्शाया गया है तो
इन क्रमित युग्मों के प्रथम घटकों के समुच्चय को प्रान्त(Domain) कहते हैं तथा कर्मित युग्मों के द्वितीय घटकों के समुच्चय को परिसर (Range) कहतें हैं।

(फलन) Function :

फलन एक विशेष प्रकार का संबंध होता है यदि वह संबंध इस प्रकार हो कि:
1. A का प्रत्येक अवयव B के किसी न किसी अवयव से सम्बन्धित हो।
2. A का प्रत्येक अवयव B के एक और एक अवयव से ही सम्बन्धित हो।
तो एक संबंध फलन कहलाता हैं।

Notation:

यदि f : A→B तो f = {(x,y)/x ∈ A,y ∈ B} तथा y=f(x)
जहाँ y को x का प्रतिबिंब (image) तथा x को y का पुर्व प्रतिबिंब (pre-image) कहते है।

Definition:

समुच्चय A में प्रत्येक अवयव की समुच्चय B में बिल्कुल एक image है, तो समुच्चय A से समुच्चय B तक एक संबंध f को एक फलन माना जाता है। आसान शब्दों में कहा जा सकता हैं कि समुच्चय B के कोई भी दो अलग-अलग अवयव (distinct element) एक ही पुर्व प्रतिबिंब (pre image) नहीं रखते हैं।

यहां (1) एक फलन है क्योंकि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव की समुच्चय B में एक और केवल एक प्रतिबिंब है तथा समुच्चय B के किन्ही भी अलग-अलग अवयवों का एक ही पुर्व प्रतिबिंब नहीं हैं।

यहाँ (2) भी एक फलन है क्योंकि समुच्चय A का प्रत्येक अवयव का समुच्चय B में एक और केवल एक प्रतिबिंब है और समुच्चय B के भी किन्ही दो या अधिक अवयवों का समुच्चय A में एक ही पुर्व प्रतिबिंब नहीं हैं।

यहाँ (3) एक फलन नहीं है क्योंकि समुच्चय A के अवयव 3 के प्रतिबिंब एक से अधिक है। यहां अवयव 3 के प्रतिबिंब b तथा c हैं।

यहाँ (4) भी एक फलन नहीं है क्योंकि इसमें समुच्चय A के अवयव 3 व अवयव 4  का समुच्चय B में कोई प्रतिबिंब नहीं हैं।

कृपया ध्यान दें : सभी फलन संबंध हैं परन्तु सभी संबंध फलन नहीं हैं।

सम्बन्ध एवं फलन की परिभाषा: निष्कर्ष

संबंध और फलन दो गणितीय सिद्धांत हैं जो डेटा को दो सेटों के बीच कैसे व्यवस्थित किया जाता है।

संबंध, जो बताते हैं कि एक समुच्चय का प्रत्येक अवयव दूसरे समुच्चय के किसी भी तत्व से संबंधित है या नहीं, अर्थात् यह समुच्च्यों के बीच डेटा के संगठन को दिखाता हैं।
फलन एक खास तरह का संबंध है जो एक समुच्चय के प्रत्येक अवयव को एक अलग समुच्चय में एक अलग अवयव से जोड़ता है।
यह जानना महत्वपूर्ण है कि फलन और संबंध दोनों ही गणितीय मॉडल हैं जो वास्तविक जीवन में घटनाओं को चित्रित कर सकते हैं।

शिक्षा एक सतत प्रक्रिया है।जितना हम सीखते हैं, उतना ही सीखने के लिए बाकी रह जाता है। 

इसलिए, आइए चर्चा को जारी रखें। नीचे कमेंट्स में अपने विचार साझा करें। शायद आपके पास कोई अनोखा दृष्टिकोण हो जो दूसरों के लिए मददगार साबित हो सके।

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एकदिष्ट फलन और इसके प्रकार/monotonic function and it's types

बीटा फलन और गामा फलन : जटिल अवधारणाओं की आसान व्याख्या 

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