एकदिष्ट फलन और उसके प्रकार बताइए? Monotonic Function, Types and Examples

एकदिष्ट फलन (Monotonic Function/मोनोटॉनिक फ़ंक्शन) क्या होते हैं?

• फ़ंक्शन को एकदिष्ट फलन (monotonic/मोनोटॉनिक) कहा जाता है अगर वो अपने पूरे डोमेन में बढ़ते या घटते हैं अर्थात् किसी फ़ंक्शन की एकदिष्टता(monotonicity) हमें बताती है कि वह प्रकृति में बढ़ रहा है या घट रहा है।

• उदाहरण: f(x)=2x+3
f(x)=log(x)
f(x)=e^x
बढ़ते फ़ंक्शन के उदाहरण हैं,और
f(x)=−x⁵
f(x)=e−x
घटते फ़ंक्शन के उदाहरण हैं।

एकदिष्ट फलन (monotonic functions/मोनोटॉनिक फ़ंक्शन) की प्रमुख विशेषताएँ:

1. एकदिष्ट वर्धमान/वृद्धि फलन(Monotonic increasing function):

अगर
                    X1 < X2 ⇒ F(X1) ≤ F(X2)
या                 X1 > X2 ⇒ F(X1) ≥ F(X2)

तो फ़ंक्शन को एकदिष्ट वृद्धि फलन या एकदिष्ट वर्धमान (monotonic increasing) फलन कहा जाता है।
एकदिष्ट वर्धमान फलन, monotonic increasing Function

2. एकदिष्ट ह्रासमान/घटन फलन(Monotonic decreasing function) :

अगर

                      X1 < X2 ⇒ F(X1) ≥ F(X2)
या                   X1 > X2 ⇒ F(X1) ≤ F(X2)

तो फ़ंक्शन को एकदिष्ट ह्रासमान(monotonic decreasing) फलन कहा जाता है।
एकदिष्ट ह्रासमान फलन, monotonic decreasing Function

कोई भी फलन एकदिष्ट फलन (Monotonic Function) कहलाता हैं यदि वह फलन एकदिष्ट वर्धमान (monotonic increasing function) या एकदिष्ट ह्रासमान(monotonic decreasing) हो।

Note :
• यदि
                 X1 < X2 ⇒ F(X1) < F(X2)
या              X1 > X2 ⇒ F(X1) > F(X2)

तो फलन strictly increasing function कहलाता हैं।

• यदि
                X1 < X2 ⇒ F(X1) > F(X2)
या             X1 > X2 ⇒ F(X1) < F(X2)

तो फलन strictly decreasing function कहलाता है।

एकदिष्ट फलनों के उदाहरण (Examples of monotonic functions) 

एकदिष्ट वर्धमान फलन(monotonic increasing function):

  •   x³
  •  x|x|
  •  tan x
  •  [x]
  •  sinhx    etc.

एकदिष्ट ह्रासमान फलन(monotonic decreasing function):

  • 1/x
  • 1-3x
  • cothx
  • cot x 
  • cosechx    etc.

एकदिष्ट नहीं(non monotonic):

  • x²
  • |x|
  • sin x
  • cos x
  • sechx
  • coshx    etc.

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