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बीटा फलन और गामा फलन(Beta function and Gamma function)
गणित में बीटा फंक्शन और गामा फ़ंक्शन (beta function and gamma function) बहुत लोकप्रिय हैं। बीटा एक दोहरा चर फ़ंक्शन है,जबकी गामा एक एकल चर फ़ंक्शन है।बीटा फ़ंक्शन क्या है?(what is beta function? )
गणित में, बीटा फ़ंक्शन, जिसे B(m,n) के रूप में दर्शाया जाता है, एक विशेष फ़ंक्शन है जो समाकलों (integrals) से संबंधित है। इसे वास्तविक संख्याओं (real numbers) m और n के लिए परिभाषित किया जाता है जो दोनों ही शून्य से बड़े हों (m, n > 0).
सूत्र(formula of beta function)
बीटा फ़ंक्शन को एक निश्चित समाकल (definite integral) के रूप में व्यक्त किया जाता है:
B(m,n) = Integral on the interval [0, ∞] of∫ 01x m −1 (1-x)n-1 dx
जहां:
• x समाकलन का चर (variable of integration) है (0 से 1 तक)
• m और n प्राचल (parameters) हैं
इसे प्रथम प्रकार का बीटा फलन (beta function of first kind) कहा जाता हैं।
तथा
B(m,n) = Integral on the interval [0, ∞] of∫ 0∞y m−1 /(1+y)m+n dy
इस समाकल को द्वितीय प्रकार का बीटा फलन (second kind of beta function) कहा जाता हैं।
Properties of beta function:
बीटा फ़ंक्शन के कई महत्वपूर्ण गुण हैं:• समरूपता (Symmetry): B(m,n) = B(n,m)
• गामा फ़ंक्शन से संबंध (Relation between Beta function and Gamma function):
B(m,n) = Γ(m) * Γ(n) / Γ(m + n),
जहाँ Γ(m) गामा फ़ंक्शन है, जो कि गैर-पूर्णांक मानों (non-integer values) के लिए फैक्टोरियल फ़ंक्शन (factorial function) का एक सामान्यीकरण (generalization) है।
• फैक्टोरियल से संबंध (Factorial Relationship): जब m या n एक पूर्णांक (integer) होता है, तो बीटा फ़ंक्शन को फैक्टोरियल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
बीटा फ़ंक्शन गणित के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग है:
• संभावना वितरण (Probability Distributions): यह बीटा वितरण (beta distribution) जैसे संभावना वितरणों को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
• सांख्यिकीय निष्कर्ष (Statistical Inference): इसका उपयोग एफ-परीक्षण (F-test) और अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन जैसे सांख्यिकीय परीक्षणों में किया जाता है।
• समाकलन (Integration): बीटा फ़ंक्शन कुछ निश्चित समाकलों को सरल बना सकता है, उन्हें बीटा फ़ंक्शन व्यंजकों (expressions) में बदल कर।
कल्पना कीजिए आपके पास कुछ दोस्त हैं (मान लें 4) और आप किसी प्रोजेक्ट के लिए उनके साथ कितने अलग-अलग समूह बना सकते हैं। आप यह जानना चाहते हैं। इसकी गणना में फैक्टोरियल फ़ंक्शन (factorial function) (n! के रूप में लिखा जाता है) आपकी मदद करता है। 4 दोस्तों के लिए, समूह बनाने के 4! (4 फैक्टोरियल) तरीके हैं, जो कि 4 x 3 x 2 x 1 = 24 होता है।
गामा फ़ंक्शन (gamma function) इस विचार को पूर्ण संख्याओं (1, 2, 3, आदि) से आगे ले जाता है अर्थात् क्या होगा यदि आपके प्रोजेक्ट के लिए 2.5 दोस्त हों (शायद कोई मित्र रोबोट!)? यहां नियमित फैक्टोरियल काम नहीं करेगा। इसके लिये गामा फ़ंक्शन काम लिया जाता है और इस प्रकार की संख्याओं के लिए भी गणना कर सकता है।
यह आपको अजीब आकार की वस्तुओं (जैसे crumpled paper balls) के आयतन जैसी चीजों की गणना करने देता है।
Γ(n) = Integral on the interval [0, ∞] of∫ 0∞x n−1 e−x dx
को गामा फलन (gamma function) कहते हैं। gamma function को Γ(n) से निरुपित किया जाता हैं।
2.Γ(1) = 1
3.Γ(n) = (n-1)!
4.Γ(1/2) =√π
• फैक्टोरियल से संबंध (Factorial Relationship): जब m या n एक पूर्णांक (integer) होता है, तो बीटा फ़ंक्शन को फैक्टोरियल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
अनुप्रयोग(Applications of beta function)
बीटा फ़ंक्शन गणित के विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग है:
• संभावना वितरण (Probability Distributions): यह बीटा वितरण (beta distribution) जैसे संभावना वितरणों को परिभाषित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
• सांख्यिकीय निष्कर्ष (Statistical Inference): इसका उपयोग एफ-परीक्षण (F-test) और अपूर्ण बीटा फ़ंक्शन जैसे सांख्यिकीय परीक्षणों में किया जाता है।
• समाकलन (Integration): बीटा फ़ंक्शन कुछ निश्चित समाकलों को सरल बना सकता है, उन्हें बीटा फ़ंक्शन व्यंजकों (expressions) में बदल कर।
गामा फ़ंक्शन (Gamma Function)
कल्पना कीजिए आपके पास कुछ दोस्त हैं (मान लें 4) और आप किसी प्रोजेक्ट के लिए उनके साथ कितने अलग-अलग समूह बना सकते हैं। आप यह जानना चाहते हैं। इसकी गणना में फैक्टोरियल फ़ंक्शन (factorial function) (n! के रूप में लिखा जाता है) आपकी मदद करता है। 4 दोस्तों के लिए, समूह बनाने के 4! (4 फैक्टोरियल) तरीके हैं, जो कि 4 x 3 x 2 x 1 = 24 होता है।
गामा फ़ंक्शन (gamma function) इस विचार को पूर्ण संख्याओं (1, 2, 3, आदि) से आगे ले जाता है अर्थात् क्या होगा यदि आपके प्रोजेक्ट के लिए 2.5 दोस्त हों (शायद कोई मित्र रोबोट!)? यहां नियमित फैक्टोरियल काम नहीं करेगा। इसके लिये गामा फ़ंक्शन काम लिया जाता है और इस प्रकार की संख्याओं के लिए भी गणना कर सकता है।
यह आपको अजीब आकार की वस्तुओं (जैसे crumpled paper balls) के आयतन जैसी चीजों की गणना करने देता है।
गामा फलन क्या हैं ?(what is gamma function)
धनात्मक परिमेय संख्याओं n (i.e n>0) के लिए अनन्त समाकलΓ(n) = Integral on the interval [0, ∞] of∫ 0∞x n−1 e−x dx
को गामा फलन (gamma function) कहते हैं। gamma function को Γ(n) से निरुपित किया जाता हैं।
गामा फलन के गुणधर्म (Properties of Gamma function)
1.Γ(n+1)= nΓn2.Γ(1) = 1
3.Γ(n) = (n-1)!
4.Γ(1/2) =√π
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